«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di in una sommatoria nella forma
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dove rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
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Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo ad e a , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
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o, in maniera equivalente,
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Prima dimostrazione (induttiva)
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Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
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e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione
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si ha
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e moltiplicando la sommatoria per si ha
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da cui
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Inoltre
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Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
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si ha che
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Poiché infine
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e
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si ha che
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e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
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che conferma la tesi.
Seconda dimostrazione (combinatoria)
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Se scriviamo come il prodotto
con fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo volte e volte dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da .
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di da a , si ha subito la tesi.
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia
dove il resto indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
- ,
dove è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
- .
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione è
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e, poiché
-
-
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si ottiene
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che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine .