Kulusevski werd geboren in Stockholm als kind van Macedonische ouders. Hij begon met voetballen bij IF Brommapojkarna. In 2016 vertrok hij naar het Italiaanse Atalanta Bergamo. Op 20 januari 2019 debuteerde de vleugelspeler in de Serie A, in een wedstrijd tegen Frosinone. Hij viel in voor Marten de Roon. In juli 2019 werd bekend dat Parma Kulusevski op huurbasis overnam. Op 30 september 2019 maakte hij zijn eerste competitietreffer, tegen Torino.
Op 2 januari 2020 verkocht Atalanta Kulusevski voor een bedrag van 35 miljoen euro aan Juventus. De Zweeds international tekende een contract tot 2025, maar maakte het seizoen nog af bij Parma.