PUISSANCE de 2

Propri�t�s

� retenir

Puissance

Non puissance de 2

2 ⁿ

Nombres polis

ou nombres escaliers

Mersenne

Fermat

Fermat g�n�ralis�

2 ^p � 1

2 ^{2 � la puissance k} + 1

n ^{2 � la puissance k} + 1

Woodall

Cullen

Riesel

Proth

Sierpinski

Brier

Carol et Kynea

Thabit

Fraction dyadique

Premiers en

2ⁿ⁺¹ + (2ⁿ � 1)

2^{n � 1} + n

1 / 998 = 0,001 002 004 008 016 032 064 128 256

����������������� 513 026 052 104 208 416 833 667 �.3

Suite des puissances de 2 jusqu'� 256 = 2⁸.

Application d'une identit� remarquable avec les puissances de 2:

Rectifier l'op�ration en d�pla�ant un seul chiffre.

Liste des nombres n tels que n � 2^k positif sont tous premiers.

[1, 7, 15, 21, 45, 75, 105]

Exemple: 105 => 103, 101, 97, 89, 73, 41 sont premiers

4 = 3⁰ + 31 et 256 = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3⁵

Seuls cas connus d'une puissance de 2 �gale � une somme de puissances de 3 distinctes. Aucune en puissance de 5. Avec la puissance 7, on a le seul cas de 8 = 7⁰ + 7¹.

Voir Cas des puissances de 3

Les derniers chiffres des puissances de 2

Rappel des puissances de 2:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 �

Les unit�s se r�p�tent selon un cycle de longueur 4:

2, 4, 8, 6

Les deux derniers chiffres se r�p�tent selon un cycle de longueur 20:�

4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52

Les trois derniers chiffres se r�p�tent selon un cycle de longueur 100:�

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 24, 48, 96, 192, 384 �

Lp est la longueur de la p�riode pour m derniers chiffres.

La p�riode commence � partir de� 2^m.

Lp = 4 . 5^{m � 1}

Bilan pour m successifs de 1 � 10:

4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500, 62 500, 312 500, 1 562 500, 7 812 500

Les puissances n�gatives de 2 se terminent alternativement par 125 et 625, sauf les deux premi�res.

Les PUISSANCES de 2

ne sont pas sommes de cons�cutifs

La partition des puissances de 2 avec des nombres cons�cutifs est impossible.

Exemple

2⁴ = 16

Parmi les 231 partitions du nombre 16, aucune n'est somme de deux nombres cons�cutifs ou plus.

Les PUISSANCES de 2

sont presque parfaites

Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (d�ficience �gale � 1).

Anglais: least deficient or near-perfect numbers.

Exemple

2⁴ = 16

Diviseurs propres: 1, 2, 4, 8

Somme: 15

Soit une d�ficience de 1.

PUISSANCES de 2 et BINAIRE

Num�ration

Comme les puissances de 10 sont � la base du syst�me d�cimal, les puissances de 2 sont � la base du syst�me de num�ration binaire

Remarque

�� 111₂ = 7₁₀� = 2² + 2¹ + 2⁰

1000₂� = 8₁₀ = 2³

Plus g�n�ralement

2ⁿ � 1 =��� 11 �11 _{en binaire}

2ⁿ������ = 1 00 �00 _{en binaire}

1011₂ = 1 x 2³

���������� + 0 x 2²

���������� + 1 x 2¹

���������� + 1 x 2⁰

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Toutes les puissances de 2 de 0 � 4.

n fois le 1

Un 1 et n fois le 0

Les unit�s des puissances de 2� se r�p�tent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau r�sum� suivant:

SOMME DES PUISSANCES DE 2

Observations

      On calcule les puissances de 2 et leur somme cumul�e S_n

      On note, par exemple

Exemple d�velopp� avec S₉

Th�or�mes

Exemple

�

Formulation

Voir Somme des puissances / Identit� remarquable

Inverse des puissances de 2

EN R�sum�: suites g�om�triques de raison 2 et 1/2

Ce sont effectivement deux suites g�om�triques dont on connait imm�diatement la somme. Pour l'exemple, on va tout de m�me en �tudier quelques d�monstrations.

La somme de deux puissances de 2 cons�cutives est divisible par 3. C'est vrai �galement pour la concat�nation

D�monstration par induction

      On suppose que la formule est vraie pour n.

S_n = 2^n-1 +� 2^n-2 +� � + 2 + 1

���� = 2ⁿ � 1

      On passe � n+1.

S_n+1 =�� 2ⁿ +� 2^n-1 +� 2^n-2 +� � + 2 + 1

S_n+1 =�� 2ⁿ +� S_n

      On remplace S_n �par sa valeur dans la formule de r�currence.

S_n+1 =�� 2ⁿ +� 2ⁿ � 1

      Deux fois 2ⁿ

S_n+1 =�� 2ⁿ⁺¹ � 1

      La relation obtenue est la formule de r�currence appliqu�e � n+1.

Si la formule est vraie pour n, elle est vraie pour n+1

      Or elle est vraie pour 1.

S₀ = 2⁰ = 1

���� = 2¹ � 1 = 2 � 1 = 1

      Formule vraie pour n+1, si vraie pour n

Or vraie pour 1

Donc vraie dans tous les cas.

D�monstration par sommes

      Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths. D�sol�!

2ⁿ� = 2ⁿ (2 � 1)

2ⁿ� = 2ⁿ⁺¹� � 2ⁿ

      Muni de cet outil voyons notre somme.

S_n = 2ⁿ + 2^n-1 + 2^n-2 +� � + 2 + 1

      Rempla�ons par notre formule magique.

On se souviendra que 2⁰ �= 1.

�(Voir Explication)

S_n = 2ⁿ�

+ 2^n-1�

+ 2^n-2

+� �

+ 2¹

+ 2⁰

S_n = 2ⁿ⁺¹ � 2ⁿ�

+ 2ⁿ � 2^n-1

+ 2^n-1 � 2^n-2

+� �

+ 2² � 2¹

+ 2¹ � 2⁰

      Additionnons, en observant les termes qui s'�liminent deux � deux.

S_n = 2ⁿ⁺¹ � 2⁰� = 2ⁿ⁺¹ � 1

DIVISIBILIT� par 3

2ⁿ = 2 x 2 x � 2

      N'est �videmment pas divisible par 3 (aucun des facteurs n'est divisible par 3).

2²ⁿ = 3k + 1

      Les puissances paires de 2, divis�es par 3, donne un reste de 1.

2²ⁿ⁺¹ = 3k + 2

      Les puissances impaires de 2, divis�es par 3, donne un reste de 2.

Illustration

TRIANGLE DE PASCAL

Explications

      On peut retrouver facilement cette propri�t� en remarquant que

2 = 1 + 1

      Et alors, on calcule 2ⁿ = (1 + 1)ⁿ
sur la base du d�veloppement du bin�me.
Celui-ci fait intervenir les coefficients du bin�me qui ne sont autres que les termes du triangle de Pascal.

PUISSANCES de 2 et 2n

Montrez que

2ⁿ

> 2n� pour n > 2

Point de d�part

2³

= 8 > 2 x 3 = 6

Vrai pour 3

Hypoth�se

2^k

> 2k

D�montrez sous cette hypoth�se

2^{k + 1}

> 2 (k + 1)

D�veloppement de la puissance

= 2 x 2^k

Selon l'hypoth�se

> 2 x 2k

Factorisation

>� 2 (k + 1)

Induction

Propri�t�e vraie pour k = 3.

Propri�t�e rai pour k + 1� si vraie pour k

Alors, toujours vraie pour n > 2.����

PUISSANCES de 2 et cubes

Montrez que

2ⁿ

> n³� pour n > 9

Point de d�part

2¹⁰

= 1024 > 1000

Vrai pour 10

Hypoth�se

2^k

> k³

D�montrez sous cette hypoth�se

2^{k + 1}

> k^{3 + 1}

D�veloppement de la puissance

= 2 x 2^k

Selon l'hypoth�se

> 2 x k³

Explicitation

>� k³ + k³

>� k³ + k . k²

Minoration pour nous arranger

>� k³ + 7 . k²

>� k³ + 3 . k² + 3 . k² + k²

>� k³ + 3 . k² + 3 . k + 1

> (k + 1)³

Induction

Propri�t�e vraie pour k = 10

Propri�t�e rai pour k + 1� si vraie pour k

Alors, toujours vraie pour n > 9.����

PROGRESSION DES PUISSANCES DE 2

Plus grand nombre avec 3 deux

� = (2�)� = 2^{(2�) �} =

4² = 2⁴� =

16

222 =

222

22� =

484

2�� =

4 194 304

Plus grand nombre avec 4 deux

2 222

10 ³

222 � = 49 284

10 ⁴

� = ((2�)�)� = 2^2^2^2

= 65 536 �

10 ⁵

�= 484 ²�

10 ¹⁴

22 ��

10 ²⁹

2 ���

0,67 10 ⁶⁷

� = 2 ��^� = 2^{� 484}

0,5 10 ¹⁴⁶

� = 2�^�� = 2^{4 194 304}

10 ^{1 262 612}

PUISSANCE DE 2 � 1

2⁶⁷ � 1 = 1, 47� 10 ²⁰

= 147 573 952 589 676 412 927

= 193 707 721 x 7 618 388 257 287

      En 1876, Lucas montre que ce nombre est compos�. Il a �t� factoris� en 1901 par F. Cole.

Voir Ce nombre

Anecdote: Frank Cole est professeur de math�matiques � l'universit� Columbia de New York. En 1903, lors d'une cession de la Soci�t� math�matique am�ricaine, sans dire un mot, il �crit au tableau le nombre de Mersenne 2⁶⁷ � 1, puis sur l'autre tableau le produit de deux nombres, et, enfin, entre les deux le signe �gal. Il avait pass� trois ann�es de ses temps libres pour arriver � factoriser ce nombre.

�

Pour tout n entier > 1 on n'a jamais n �(2^n� � 1): une puissance de 2 moins 1 n'est jamais divisible par son exposant.

Une infinit� de nombres sont tels que n �(2^n� + 1), notamment pour n = 3k

Une infinit� de nombres sont tels que n �(2^n� + 2)

PUISSANCE DE 2 �1 � Nombres premiers

Pour N <50

      Seules 8 + 5 - 1 (3 �tant en double) = 12 valeurs de 2^N �1 sont premi�res pour N < 50.

Pour N >50

      Nombres 2^N �1 qui sont premiers.
(N n'est donn� que si l'un des deux nombres est premier)

V�rifi� jusqu'� 1900

Suite en Nombres de Mersenne

Factorisations historiques

      En 1730, Euler montre que:

      En 1880, Landry et Le Levasseur montrent que:

      En 1970, Morrison et Brillhart montrent que:

Les exposants n suivants sont tels que n divise 2ⁿ + 1:

1, 3, 9, 27, 81, 171, 243, 513, 729, 1539, 2187, 3249, 4617, 6561, 9747, 13203, 13851, 19683, 29241, 39609, 41553, 59049, 61731, 87723, 97641, 118827, 124659, 177147, 185193, 250857, 263169, 292923, 354537, 356481, 373977, 531441, 555579, 752571, 789507, 878769, �

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 2:

1, 2, 6, 66, 946, 8646, �

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 3:

1, 5, 917, 3223

Avec 2ⁿ � 1 : ces nombres ne sont jamais divisibles par n (sauf n = 1).

�UNE FORMULE ORIGINALE

�quation

Exemples

�quation amusante d�couverte et d�montr�e� en 1986 par Pascal Peyremorte

PAPIER PLI�

1 125 899 906 842 624 = 1,126 10 ¹⁵� morceaux de papier pli�.

On prend une feuille de papier � cigarette de 1/50 mm (tr�s fin!).

il en faut 500 pour faire 1 cm d'�paisseur.

On d�chire la feuille en deux et on empile les morceaux.

On recommence l'op�ration 50 fois.

Quelle est la hauteur de la pile?

Distance � comparer � (en km)

Produit avec puissances de 2

Produit infini avec les puissances de 2.

Euler a montr� que de produit peut �tre calcul� plus facilement avec la somme infinie:

1 � x � x²� + x⁵ + x⁷ � x¹² � x¹⁵ + x²² + x²⁶ � x³⁵ � x⁴⁰ + �

Les exposants sont les nombres pentagonaux g�n�ralis�s: n(3n � 1 ) / 2 avec n = 0, +1, -1, +2, -2 �
�

2, 3, 9, 13, 19, 21, 55, 261, 3 415, 4 185, 7 353, 12 213 �

Rectifier l'op�ration en d�pla�ant un seul chiffre.

Suite

    Puissance 2 � Valeurs

    Les puissances de 2 sont des nombres 2-friables

    Carr� magique multiplicatif avec les puissances de 2

    Divisibilit� des puissances de 2 � 1 (Mersenne compos�)

    Multipuissances

    Nombres de Poulet

    Presque puissances de 2

    Produit amusant en puissances de 2 et de 5

    Puissance de 2 en informatique (m�ga, giga �)

    Puissance de 2 et (1 + i)

    Puissances de 2 et conjecture de Collatz

    Puissance de 2 et l'ann�e 2014

    Puissance de 2 et nombres cons�cutifs

    Puissance de 2 et puissances des complexes

    Puissance des nombres � Autres pages

    Puissances de 2 et logarithmes

      Puissances de 2 et nombre 142857

      Suite avec les inverses des puissances de 2

      Somme des inverses des puissances de 2

Voir

    Conjectures de Polignac

      Divisibilit� de����� 2n �1 et x.n 1 �

      �chiquier et grains de bl�

    Identit�s

      Mesure du temps (quartz)

    Nombres bons

   Octave en musique

    Partage des �ufs

    Progression g�om�trique

    Puissances � Index

    Puissances et exposants

DicoNombre

    Nombre 0,2887 �

Sites

    Jeu du 2048 � D�placez des tuiles, comme sur un jeu de taquin � jeu � la mode en 2014.� Voir Sur ce site

    OEIS A001318 � Generalized pentagonal numbers

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